Aplicación de la matemática en la arquitectura: APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES EN LA ARQUITECTURA

FUNCIÓN

Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida. Lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra

El nombre más común es "f", pero puedes ponerle otros como “g, n, d, k” o hasta "mermelada" si quieres. Una función relaciona cada elemento de un conjunto con un elemento exactamente de otro conjunto (puede ser el mismo conjunto).

Como componentes que integran una función está el conjunto "X" que es el dominio, el conjunto "Y" que es el codo-minio, y el conjunto de elementos de Y a los que llega alguna flecha (los valores verdaderos de la función) se denomina rango o imagen.

Concluyendo rápidamente lo que es una función están lo siguiente:

· Una función relaciona entradas con salidas.

· Una función toma elementos de un conjunto (dominio) y los relaciona con elementos de otro conjunto (codo-minio).

· Las salidas (los verdaderos valores de la función) se denominan imagen o rango.

· Una entrada sólo produce una salida.

· Una entrada y la salida ubicándolos juntos se nombran par ordenado.

· Así que una función también se puede ver como un conjunto de pares ordenados.

-PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN

· Signo de la función. Dada un función f(x), determinar su signo es hallar para qué valores del dominio es f(x) < 0 y f(x) > 0

· Ceros de la función. Son los valores del dominio que son las soluciones de la ecuación f(x) = 0.

· Monotonía. Es la variación de la función respecto a la variable independiente x. Comprende los conceptos de crecimiento y decrecimiento.

· Puntos extremos. Son los puntos más altos y más bajos de la gráfica de una función. Un máximo de una

· Acotación. Una función se dice acotada cuando el recorrido está entre dos valores y por lo tanto su gráfica estará entre dos rectas.

· Simetría. Las simetrías de las funciones nos van a facilitar su representación gráfica. Una función se dice par si se cumple para todos los puntos del dominio que f(x) = f (-x). Una función se dice impar si se cumple para todos los puntos del dominio que f (-x) = -f(x).

· Periodicidad. Una función es periódica si se repite cada cierto intervalo de amplitud T. Es decir, que se cumple que para todo el dominio que f(x) = f(x + T). Al valor T se le llama período.

-OPERACIONES CON FUNCIONES

Al igual que los números, las funciones pueden realizar operaciones algebraicas. En todos los casos debemos tener cuidado con los dominios de las funciones que participan en la operación y de la función resultado de la operación.

· Suma de funciones: (f + g) (x) = f(x) + g(x).

· Diferencia de funciones: (f - g) (x) = f(x) - g(x).

· Producto de funciones: (f∙g) (x) = f(x) ∙g(x).

· Cociente de funciones:

· Composición de funciones. Esta es una operación especial que se utiliza mucho para crear nuevas funciones. Componer dos funciones es aplicar una de ellas sobre la imagen de la otra. Se debe tener cuidado con los dominios

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

FUNCIONES ALGEBRAICAS

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

· Funciones explícita: Se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución

· Funciones implícitas: No se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

Funciones Polinómicas: Vienen definidas por un polinomio, su dominio es R

Funciones Racionales: Viene dado por un cociente entre polinomio. El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

FUNCIONES TRASCENDENTE

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función Exponencial: De la forma f(x) = ax .Donde a y x son números reales tal que a> 0 y a es diferente de uno, puede considerarse como la inversa de la función logarítmica en cuanto se cumpla que:

Propiedades:

· La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1: f (0) = a⁰ = 1.

· La función exponencial de 1 es siempre igual a la base: f (1) = a¹ = a.

· La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.

f (x + x?) = a^x+x? = a^x × a^x? = f (x) × f (x?).

· La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:

f (x - x?) = a^x-x?= a^x/a^x? = f (x)/f (x?).

Un caso particular de la función exponencial es f (x) = e^x El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión: (1 + 1/n)ⁿ

APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

El matemático Weidman dedujo la base para la construcción de la torre. Un factor crucial para los cálculos que Eiffel tenía en mente pasaba por calibrar el efecto de las fuerzas ejercidas por el viento sobre determinados puntos estructurales de la Torre. La clave para su solución deriva de dos ecuaciones exponenciales diferentes interconectadas: una para la mitad superior de la torre, y otra en la que interviene el factor de sobre-dimensionamiento de seguridad de la estructura en su base.

Funciones Logarítmicas: Es aquella que genéricamente se expresa como f (x) =log_ax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial dado que:

log_a x = b Û a^b = x.

El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales

Propiedades:

· La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).

· Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.

· En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que log_a 1 = 0, en cualquier base.

· La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.

· Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Funciones trigonométricas: También llamada circular, es una rama de las matemáticas que tiene como objetivo la medición de los triángulos.

Existen las funciones trigonométricas que son: Seno, Coseno, Tangente y sus inversas (cosecante, secante, cotangente).

Función seno: sen (θ) = Opuesto / Hipotenusa

Función coseno: cos (θ) = Adyacente / Hipotenusa

Función tangente: tan (θ) = Opuesto / Adyacente

Función cotangente: ctg (θ) = Adyacente / Opuesto

Función secante: sec (θ) = Hipotenusa / Adyacente

Función cosecante: csc (θ) = Hipotenusa / Opuesto

Función Seno: Es aquella que asocia a cada ángulo el valor del seno correspondiente. Su expresión analítica es la siguiente: y = sen x

Propiedades de la función y = sen x

Ejemplo:

Función Coseno: Es aquella que asocia a cada ángulo el valor del coseno correspondiente. Su expresión analítica es la siguiente: y = cos x

Propiedades de la función y = cos x

Ejemplo:

Función Tangente: Es aquella que asocia a cada ángulo el valor de la tangente correspondiente. Su expresión analítica es la siguiente: y = tan x

Propiedades de la función y = tan x

Ejemplo:

APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

La trigonometría no se puede separar de la arquitectura ya que es vital para encontrar las alturas de los edificios, distancias y fuerza de elementos diagonales o crear algún objeto tridimensional; con ello podremos lograr construir un edificio, no solo será fuerte sino tendrá medidas concisas.

El teatro Popular en Niterói fue diseñado por el arquitecto Oscar Niemeyer en el año 2007. Para el diseño de este edificio se utilizó una función trigonométrica, ya que si ubicamos la forma de este edificio en un plano cartesiano, tomando en cuenta que la punta de lado izquierdo del edificio pasa por el origen del plano cartesiano, con esta información podemos deducir el edificio pertenece a la función de Seno.

Este símbolo contemporáneo diseñado por el arquitecto Michele de Lucchi a principios del 2010. Este puente tiene 150 m de largo y se encuentra ubicado en Georgia. Al igual que la imagen anterior la forma de este puente pertenece a una función trigonométrica. Si localizamos este diseño en un plano cartesiano podemos ver que el inicio del puente pasa por la coordenada (0,1) con esto podemos deducir que la silueta de este puente pertenece a la función coseno.